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行列のいろいろ（種類と性質）

よく出る行列を表でまとめました。条件・性質・例をさっと確認できます。

種類 条件・定義 性質 例
正方 / 対角 / 単位 正方: \(n\times n\)
対角: 主対角以外 0
単位: 対角すべて 1（\(I_n\)） 		逆行列やべき乗の計算が簡単（対角なら要素ごと）。
対角: \(\mathrm{diag}(2,3,4)\)
単位: \(I_3 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)
対称 / 交代（反対称） 対称: \(A^T = A\)
交代: \(A^T = -A\)（対角 0）		 実対称は固有値が実・直交化可。交代は回転や外積の表現で出現。 交代: \(\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\)（2D 90°回転）
対称: \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)（実対称，PCA等で固有分解）
対角化できる行列 \(A = PDP^{-1}\) と書ける（P: 固有ベクトル, D: 固有値） 固有ベクトルが基底をなすとき可能。べき乗や指数の計算が簡単。 例: \(A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix} = PDP^{-1}\)
固有値 \(\lambda_1=4, \lambda_2=2\)。
\(A^n = PD^nP^{-1}\) で計算が楽。
直交行列 / 正規直交基底 \(Q^T Q = I\)。列（行）が互いに直交で長さ1。 長さ・角度を保つ（回転・反射）。逆行列は転置 \(Q^{-1}=Q^T\)。 2D 回転: \(\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\)
例: \(\theta=\pi/2\) で 90°回転。
エルミート / ユニタリ エルミート: \(A^{\mathrm{H}} = A\)
ユニタリ: \(U^{\mathrm{H}}U = I\)		 エルミート: 固有値が実、固有ベクトル直交化。ユニタリ: 長さ・内積を保つ。 エルミート例: \(\begin{pmatrix}2 & i\\ -i & 2\end{pmatrix}\)
ユニタリ例: 2D フーリエ行列 \(\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)
表現行列 / 変換行列 基底を B→C に変える行列 P を用意し、座標と行列を変換。 線形写像 \(A\) の表現は \(P^{-1}AP\) に変換される。 2D で x-y 基底→回転基底へ。
回転行列 \(R\) を使い、座標は \(R^{-1}v\)、表現行列は \(R^{-1}AR\) に更新。